نقشه راه درس ریاضیات (المپیاد فیزیک)

نقشه راه ریاضیات المپیاد فیزیک

به قلم استاد: حسین کامکار

ریاضیات، زبانِ فیزیک است. هرچه شما در ریاضیات عمیق‌تر شوید، می‌توانید وارد حیطه‌های عمیق‌تری از فیزیک بشوید. بسیاری از پیش‌رفت‌های فیزیک در طول تاریخش، در گرو یک یا چند پیش‌رفت در تاریخ ریاضیات بوده است. مثالِ معروفِ این ماجرا را می‌توان در وابستگیِ «مکانیک نیوتنی» به حساب دیفرانسیل و انتگرال و همچنین هندسه تحلیلی مشاهده نمود؛ در واقع می‌توان گفت: مکانیک نیوتنی وقتی متولد شد که حساب دیفرانسیل و انتگرال متولد شد.

کسی که می‌خواهد مسیر المپیاد فیزیک را طی کند هم باید یک برنامه جدی برای گسترش درک ریاضیاتی خود داشته باشد. این ریاضیات از سطح ریاضیات دبیرستانی آغاز می‌گردد و برای سطوح پیش‌رفته المپیاد فیزیک، به بخش‌هایی از ریاضیات دانشگاهی نیز احتیاج است. در این نوشته به سرفصل‌های ریاضی لازم برای المپیاد فیزیک می‌پردازیم.

مثلثات. در همان اولین و ساده‌ترین مسائل فیزیکی، توابع سینوس و کسینوس ظاهر می‌شوند. دانش‌پژوه باید بر اتحادهای مثلثاتی و حل معادلات مثلثاتی مسلط باشد و بتواند در جای مناسب از آن‌ها استفاده کند. در این‌جا به فهرستی از اتحادهای مثلثاتی لازم برای یک المپیاد فیزیکی اشاره می‌کنیم

به صورت کلی میتوان گفت: مثلثات لازم برای المپیاد فیزیک، چیزی فراتر از مثلثات دروس دبیرستان نیست. البته گاهی از سری های مثلثاتی در مسائل المپیاد فیزیک استفاده می شود، اما به ندرت چنین اتفاقی رخ می دهد. بنابراین بهترین منبع برای مطالعه مثلثات، همان منابع دبیرستانی و کنکوری است.

بردار. در یک تعبیرِ ساده، بردارها عبارتند از کمیت‌های دارای «جهت». بسیاری از کمیت‌ها و/ یا معادلات بنیادینِ فیزیک بر اساسِ بردارها و کمیت‌های برداری توصیف می‌گردند. به همین منظور لازم است دانش‌آموز المپیاد فیزیکی، با «جبر برداری» و «هندسه برداری» به خوبی آشنا باشد. منظور از «جبر برداری» عبارت است از آشنایی با ضرب داخلی و ضرب خارجی و ویژگی‌های آن‌ها و منظور از «هندسه برداری» عبارت است از درک هندسی بردارها، تجزیه مناسب آن‌ها، قضایایی مثل قضیه کسینوس‌ها و موارد دیگر. مبحث بردار در کتاب «هندسه تحلیلی» پیش‌دانشگاهی (نظام قدیم) تا حد خوبی پوشش داده شده است. علاوه بر آن، معمولا در فصل نخست کتاب‌های مکانیک، سرفصل بردارها مرور می‌شود و این کتاب‌ها هم می‌توانند منبعی برای مطالعه باشند.

معادله خط و صفحه. هر مفهوم هندسی، یک تعبیر جبری و محاسباتی در فضای سه بعدی دارد، و بررسی و تحلیل این تعابیر جبری و محاسباتی را «هندسه تحلیلی» می‌نامند. پایه‌ای‌ترین بخش هندسه تحلیلی عبارت است از درک معادلات خط و صفحه در فضا. مثلا به این سؤال فکر کنید که «چگونه می‌توان با داشتن معادله خط و معادله صفحه، تشخیص داد که خط با صفحه موازی هست یا نه؟» یا «چگونه می‌توان فاصله یک نقطه خاص از یک صفحه را به دست آورد؟»

تابع. تابع‌ها موجوداتی هستند که بر اساس ورودی‌ای که می‌گیرند، یک خروجی معین را تحویل ‌می‌دهند. مبحث تابع یکی از مباحث پایه‌ای است که پیش‌نیاز بسیاری از سرفصل‌های ریاضیاتی مهم دیگر در المپیاد فیزیک است. به خصوص مبحث «رسم نمودار توابع» هم یکی از بخش‌های مهم این سرفصل است. همچنین خیلی از توابع معروف هستند که باید با ویژپی‌های آن‌ها آشنا باشید، توابعی مثل توابع درجه دوم و سوم، چندجمله‌ای‌ها، توابع نمایی و لگاریتمی، تابع ln، توابع هذلولوی (هایپربولیک)، توابع مثلثاتی، توابع گویا، تابع قدر مطلق، تابع جزء صحیح، و … . البته توابع دیگری هم در سطوح فوق پیش‌رفته المپیاد فیزیک به کار می‌آیند، مثل چندجمله‌ای‌های لژاندر، یا تابع سینک (Sinc)، تابع گاما (Γ) و …

حد. محاسبه حدها هر چند در المپیاد فیزیک خیلی پرکاربرد نیست، اما هم پیش‌نیاز درک عمیق مباحث مشتق و انتگرال است و هم در برخی از مسائل المپیاد فیزیک، مستقیما لازم است که یک حد را محاسبه کنید. معمولا با حد موجودات «بسیار کوچک» که به صفر میل می‌کنند، یا «بسیار بزرگ» که به بی‌نهایت میل می‌کنند روبه‌رو هستیم و باید بتوانیم محاسبات مربوط به این دو دسته از موجودات را با دقت انجام دهیم.

مشتق. محاسبه مشتق تابع یکی از پرکاربردترین و مهم‌ترین انواع محاسباتی است که یک المپیاد فیزیکی لازم دارد، و به نوعی می‌توان گفت «مشتق‌گیری» ستون فقرات ریاضیاتی است که شما برای المپیاد فیزیک لازم دارید. تسلط روی قواعد مشتق‌گیری در بسیاری از سرفصل‌های دیگر مثل انتگرال‌گیری یا معادلات دیفرانسیل هم به کار می‌آید و اگر در مشتق ضعف داشته باشید، در این مباحث هم به مشکل خواهید خورد. فهرستی از قواعد مشتق‌گیری که باید بر آن‌ها تسلط داشته باشید به این شرح است:

این مقاله در دست تکمیل است

ریز سرفصل های ریاضیات

مرحله مقدماتی (مرحله اول و دوم)

مرحله تابستانی (چهل نفر)

مرحله تیم / المپیاد جهانی

ریاضیات

مثلثات

زیرسرفصل‌ها :

نسبت‌های مثلثاتی دایره مثلثاتی نمودار توابع مثلثاتی اتحادهای مثلثاتی معادلات مثلثاتی وارون توابع مثلثاتی

سری‌های مهم مثلثاتی

منابع :

بردار

زیرسرفصل‌ها :

بردارها در سه‌بعد جبر بردارها ضرب داخلی ضرب خارجی

منابع :

معادله خط و معادله صفحه

زیرسرفصل‌ها :

شیب و عرض از مبدا فاصله نقطه از خط معادله صفحه وضعیت‌های خط و صفحه در فضا

منابع :

تابع

زیرسرفصل‌ها :

مفهوم تابع دامنه و برد رسم نمودار تابع تبدیلات نمودار توابع زوج/فرد بودن تابع وارون تابع

زیرسرفصل‌ها :

انتگرال روی مسیر کار گرادیان قضیه گرادیان شار واگرایی قضیه واگرایی گردش تاو قضیه تاو (استوکس) میدان‌های پایستار و پتانسیل

تجزیه هلمهولتز میدان‌های سیم‌لوله‌ای

نظریه پتانسیل برداری محاسبه مشتقات برداری در دستگاه خمیده (استوانه‌ای و کروی)

منابع :

ریاضیات مکانیک آماری

زیرسرفصل‌ها :

ترکیبیات (اصل ضرب، جایگشت، انتخاب، اصل شمول و عدم شمول) اصول احتمال توزیع‌های مهم گسسته و پیوسته امید ریاضی واریانس بسط استرلینگ انتگرال‌های گاوسی تابع گاما

منابع :

جبر خطی

زیرسرفصل‌ها :

فضای برداری ضرب داخلی استقلال/وابستگی خطی بعد زیرفضاهای خطی پایه

متعامدسازی اشمیت تبدیل خطی

تصویر و فضای پوچ

ماتریس پیشرفته

ماتریس‌های متعامد (دوران) دستگاه معادلات خطی ویژه‌مقدار

منابع :

نمادگذاری اندیسی

زیرسرفصل‌ها :

اندیس‌گذاری قواعد کار با اندیس‌ها توافق جمع‌زنی اینشتین دلتای کرونکر نماد جایگشت (اپسیلون لوی‌چیویتا) اثبات/ استخراج اتحادهای برداری

منابع :

سری فوریه

منابع :

توابع لژاندر

منابع :

معادلات دیفرانسیل جزئی

زیرسرفصل‌ها :

روش جداسازی متغیرها معادله لاپلاس