نقشه راه درس مکانیک آماری
به قلم استاد:
سید محمدحسین شریفی کلهرودی
مکانیک آماری یکی از زیر شاخه های فیزیک گرمایی است که بررسی خواص ماکروسکوپیک سیستم های بس ذره ای می پردازد.همانگونه که در بخش ترمودینامیک اشاره شد ، ترمودینامیک یک نظریه ی پدیده شناختی بر اساس مشاهدات آزمایشگاهی می باشد، بر این اساس برای فهم دقیق و اثبات قوانین ترمودینامیک و بدست آوردن معادلات حالت نیاز داریم تا خواص میکروسکوپیکی سیستم ها را نیز بررسی و ملاحظه کنیم. مکانیک آماری پل ارتباطی بین فیزیک میکروسکوپیکی سیستم ها و خواص ترمودینامیکی آن ها می باشد.
سیستم های پیرامون ما همگی مرکب از تعداد فراوانی ذره می باشند، بنابراین حل دقیق و یا عددی معادلات میکروسکوپیکی آن ها کاملا غیز ممکن است. اما این خاصیت جنبه ی مثبتی نیز دارد و آن دقت بالای محاسبات احتمالاتی برای این سیستم ها است. مکانیک آماری تلاش میکند تا بر ترکیب معادلات حاکم بر میکروسکوپیک سیستم و نظریه ی آمار و احتمالات خواص ماکورسکوپیکی سیستم ها در حالت تعادل ترمودینامیکی توصیف کند.
ترمودینامیک و حساب احتمالات پیشنیاز مهم این درس می باشند. مکانیک آماری طوری فرمول بندی می شود تا نتایج آن کاملا سازگار با ترمودینامیک باشد، بنابرلین توصیه می شود قبل از یادگیری این درس به مطالعه و یادگیری دقیق ترمودینامیک بپردازید.
مکانیک آماری از دروس پیشرفته المپیاد کشوری به حساب می آید و توصیه می شود برای شرکت در دوره ی تابستان و یا دوره ی ده نفر آن را مطالعه کنید. به یاد داشته باشید که درس جزو مباحث المپیاد جهانی نمی باشد.
حال به معرفی بخش های مختلف این درس می پردازیم.
آنسامبل میکروکانونیک :
ابتدا در این بخش از کتاب ها شما با مفهوم میکروحالت و ماکروحالت اشنا می شوید. یاد میگیرید که یک حالت ماکروسکوپیکی سیستم متناظر با پیکربندی های میکروسکوپیکی بسیار زیادی در سیستم می باشد . به همین دلیل نیاز است تا مفهوم احتمال و مجموعه های اماری ( انسامبل ها) را برای توصیف سیستم معرفی کنیم.نحوه هاب مختلف برهمکنش در ترمودینامیک منجر می شود تا تعریف انسامبل های مختلف در مکانیک اماری سودمند باشد. بعد از اشنایی با هر کدام از انها با اصل اساسی مکانیک آماری برای انسامبل های میکوکانونیک اشنا می شوید. این اصل نقش بسیار مهمی در مکانیک اماری دارد. انسامبل های میکروکانونیک مختص سیستم های بسته ای می باشند که هیچ برهمکنشی با محیط اطراف ندارند . با کمک این اصل یاد میگیرید که چگونه از روی فیزیک میکروسکوپیکی این سیستم ها، انتروپی شان را بدست آورید. همچنین قانون صفرم و اول ترمودینامیک به شما کمک می کنند تا با استفاده از انتروپی بدست امده بقیه ی خواص ترمودینامیکی این سیستم ها را نیز بدست آورید.
بطور کلی حل مسایل در انسامبل میکروکانونیک پیچیده می باشد، زیرا نیاز است تا همه ی حالت هایی از سیستم انرژی مشخصی دارند لحاظ بشوند، بنابراین ما مسایل نسبتا ساده ای را در قالب این آنسامبل حل میکنیم . در این بخش از کتاب ها با این مسایل اشنا می شوید.
آنسامبل های کانونیک :
همانگونه که اشاره شد، حل بعضی از مسایل در انسامبل میکروکانونیک کار بسیار دشورای است. برای حل این مشکل می بایست با کمک آنسامبل میکروکانونیک یک انسامبل جدیدی را فرمول یندی کنیم. این انسامبل، انسامبل کانونیک نامیده میشود که مختص سیستم هایی است که در تعادل با یک منبع گرمایی هستند. چونکه این انسامبل ها دیگر بسته نمی باشند پس همه ی حالت های سیستم با انرژی های مختلف در دسترس است. خواهید دید که شمردن همه ی حالت ها کارساده تری از شمردن حالت های مختلف با انرژی های مشخص می شود.
ابزار حل مسیله در این آنسامبل ، تابع پارش می باشد. تابع پارش از روی فیزیک میکروسکوپیکی سیستم تعریف می شود و می تواند همه ی خواص ترمودینامیکی ( تعادلی) سیستم از جمله معادلات حالت و پتانسیل ترمودینامیکی را بدست آورد. در این فصل ابتدا با وزن بولتزمن که توزیع احتمال حالت های مختلف را معرفی میکند اشنا می شوید. سپس با نحوه ی محاسبه ی تابع پارش و کاربرد های ان اشنا می شوید. همچنین خواهید دید که مسایل بسیار جالبی از جمله گاز کامل تک اتمی و دو اتمی و سیستم های مغناطیسی در قالب این انسامبل به سادگی حل می شوند
آنسامبل گرند کانونیک :
انسامبل گرند کانونیک سیستمی می باشد که علاوه بر انتقال گرما با یک منبع گرمایی ، برهمکنش انتقال ذره نیز دارد. در طبیعت دو گونه مسئله وجود دارد که حل آن ها در قالب انسامبل کانونیک بسیار دشوار است ( یاد اورید که قید انرژی ثابت در انسامبل میکروکانونیک مزاحم بود، در اینجا نیز قید تعداد ذره ی ثابت در انسامبل کانونیک منجر به دشواری می شود که با معرفی انسامبل گرند کانونیک این قید زدوده می شود). این مسائل عبارت اند از سیستم های برهمکنشی و سیستم های کوانتومی . انسامبل گرند کانونیک برای توصیف این سیستم ها فرمول بندی می شود. در این بخش از کتاب ها شما با نحوه ی حل مسائل در این انسامبل و تابع پارش گرند و پتانسیل گرند اشنا می شوید.
به یاد داشته باشید که انسامبل های مختلف، روش های حل مختلف برای حل یک مسئله ی واحد هستند که همگی به نتایج یکسانی می رسند.
ظرفیت گرمایی مواد:
این مسئله یکی پرسش های تاریخی فیزیک نظری می باشد. در این بخش از کتاب ها شما با مدل های مختلف و جنبه های مثبت و منفی ان ها برای توصیف این مسیله اشنا خواهید شد. در ابتدا خواهید دید که مدل کلاسیک بر اساس اصل همپاری انرژی جواب ساده ای برای ظرفیت گرمایی جامدات بدست می آورد، اما این پاسخ با تعدادی نتایج ازمایشگاهی سازگارنیست. دلیل این ناسازگاری این است که دینامیک ذرات میکروسکوپیکی سیستم های ما توسط مکانیک کوانتومی توصیف می شود و نه مکانیک کلاسیک . این پدیده ای شگفتی های این مسئله است زیرا ذات کوانتومی سیستم را در ازمایشگاه به شما نشا می دهد.در ادامه خواهید دید که مدل های انیشیتن و دبای بر پایه مکانیک کوانتومی نتایج بهتری را برای این سیستم ها بدست می اورند. همچنین در قالب مدل دبای، با مفهوم شبه ذرات فونون نیز آشنا می شوید.
گاز کوانتومی :
ذرات کوانتومی خواص پیچیده تری از ذرات کلاسیکی دارند. برای مثال این ذرات تمییز پذیر بوده و اصل عدم قطعیت هایزنبرگ تبعیت میکنند. بنابراین برای توصیف این ذرات نیاز داریم که سازکار جدیدی فرمول بندی کنیم. به صورت کلی ذرات کوانتومی به دو دسته ی فرمیون ها و بوزون ها تقسیم می شوند که هر دو دسته خواص های جالبی دارند. برای مثال فرمیون ها از اصل طرد پائولی تبعیت میکنند که مانع انباشتگی این ذرات می شوند. به عنوان این مثال یک رسانای بسیار بزرگ متشکل از تعداد زیادی الکترون ازاد در نظر بگیرید. خواهید دید که چون الکترون ها فرمیون می باشند، این سیستم کاملا رفتارهای به شدت متفاوتی نسبت به سیستم های کلاسیک دارد. در این فصل با امار های فرمی – دیراک و بوز – انیشتین اشنا می شوید که وظیفه ی ان ها توصیف این ذرات کوانتومی است.
یکی دیگر از سیستم های جالب کوانتومی گاز فوتونی می باشد. در ترمودینامیک دیدید که برای توصیف بحث تابش گرمایی و خواص اجسام سیاه نیاز به توصیف گاز فوتونی داریم. در این بخش با روش پلانک برای توصیف این سیستم اشنا شده و می بینید که چگونه تابع توزیع طیفی پلانک خواص تابش گرمایی را بدست می اورد.
نظریه جنبشی گاز ها :
نظریه ی جنبشی یکی از بخش های مجزای فیزیک گرمایی میباشد. برخلاف نظریه ی انسامبل ها و ترمودینامیک، این نظریه محدود به حالت های تعادلی برای سیستم نمی باشد و تلاش میکند که علاوه بر حالت های تعادلی ، فرایند به تعادل رسیدن در سیستم ها را نیز توصیف کند.
به صورت کلی نظریه ی جنبشی می کوشد تا خواص ترمودینامیکی سیستم ها را با حل مستقیم معادلات میکروسکوپیکی ان ها بدست اورد. همانگونه که گفته شد این کار غیر ممکن می باشد مگر بتوانیم تقریب های قابل قبولی برای مسیله در نظر بگیریم، انجام این کار برای گاز کامل ممکن می باشد . در صورتی که به کتاب های پیچیده تر مراجعه کنید خواهید دید که نظریه ی جنبشی گاز ها با معادلات پیچیده به طور مستقل از نظریه انسامبل ها و ترمودینامیک خواص ماکروسکوپیکی گاز کامل را توصیف میکند. در محدوده المپیاد ما با صورت بسیار ساده تری از نظریه ی جنبشی سر و کار داریم. خواهید دید که می توان با استفاده از وزن بولتزمن در انسامبل کانونیک تابع توزیع احتمال سرعت ذرات ( تابع توزیع سرعت ماکسول – بولتزمن) را بدست اورد. یاد میگیرید که چگونه با کمک این تابع توزیع و مفهوم میکروسکوپیکی انرژی و فشار، خواص ترمویدنامیکی گاز کامل را بدست اورید. همچنین مسایل بسیار جالبی در نظریه ی جنبشی وجود دارد که در این فصل با انها اشنا می شوید. برای مثال مسئله ی خروج گاز از یک روزنه ی کوچک و مسیله گاز در میدان گرانشی.
مسایل مکانیک اماری در المپیاد کشوری از تعداد محدودی الگو تبعیت می کنند. برای اشنایی با این الگوها باید به سراغ مسایل امتحانات دوره ی تابستان و دوره ی ده نفر بروید. در سال های گذشته مسایل زیبایی در مکانیک اماری در امتحانات المپیاد مطرح شده اند.
مکانیک آآماری
حساب احتمالات
زیرسرفصل‌ها :
منابع :
آنسامبل میکروکانونیک
زیرسرفصل‌ها :
منابع :
آنسامبل کانونیک
زیرسرفصل‌ها :
منابع :
آنسامبل گرند کانونیک
زیرسرفصل‌ها :
وزن بولتزمن تعمیم یافته
تابع پارش گرند
تابع پتانسیل گرند
محاسبه ی آنتروپی و پتانسیل های ترمودینامیکی بر حسب تابع پتانسیل گرند
حل گاز کامل منابع :
ظرفیت گرمایی مواد
زیرسرفصل‌ها :
منابع :
گاز کوانتومی
زیرسرفصل‌ها :
معرفی فرمیون ها و بوزون ها
اصل طرد پائولی
آمار فرمی – دیراک
گاز آزاد الکترونی- انرژی فرمی
امار بوز- انیشتین
گاز فوتونی و تابش گرمایی
محاسبه ی تابع توزیع طیفی پلانک
اثبات قوانین وین – استفان و بولتزمن منابع :
نظریه ی جنبشی گازها
زیرسرفصل‌ها :
منابع :
منابع درس مکانیک آماری
نام کتاب
تصویر جلد کتاب
توضیحات
Statistical Mechanics
(Schwabl, second edition, springer)
Concepts in thermal physics (Blundell and Blundell, Oxford University press)
